Mathématiques

Il est vraisemblable que la première activité mathématique de l’humanité a consisté à compter et, en partant de là, je voudrais vous raconter une histoire, celle de la construction de ce beau jouet que sont les mathématiques.

Parmi les procédés les plus simples pour compter, il y a celui qui consiste à tracer des bâtons, procédé utilisé par le prisonnier sur le mur de sa cellule, ou, si la vie de prisonnier ne vous inspire pas, c’est ce que l’on fait, les soirs d’élection, quand on participe au dépouillement.

C’est ce procédé qui était encore utilisé chez les boulangers au dix-neuvième siècle, et peut-être même encore aujourd’hui dans certaines régions du globe.

En quoi cela consiste. Eh bien, on utilise deux bâtons de même longueur, l’un pour le client, l’autre pour le boulanger et, à chaque pain acheté, (toujours les mêmes), on fait une encoche sur les deux bâtons tenus côte à côte, comme cela, le boulanger ne peut pas rajouter des encoches en plus, ni le client en enlever et quand on fait les comptes le client paye ce qu’il doit.

Dans toutes ces démarches on établit une relation entre les objets à compter et d’autres objets, (les bâtonnets ou les encoches), cette relation étant une

1.1 [math]{\textbf{bijection}}[/math] c’est à dire une relation telle qu’à chaque élément de l’ensemble d’arrivée, il existe un et un seul élément de l’ensemble de départ qui lui est associé.

Et, au vingtième siècle, les mathématiciens se sont lancés dans la théorie des ensembles, théorie qui a permis de formaliser la construction de l’ensemble des entiers naturels. Comment procède t-on ?

Eh bien, il faut d’abord introduire la notion d’ensemble vide, c’est à dire d’ensemble qui ne contient aucun élément, cet ensemble sera noté [math]\emptyset[/math] Puis, partant d’en ensemble [math]E[/math], on introduit l’ensemble [math]P(E)[/math] des parties de [math]E[/math], qui se définit de la manière suivante : un ensemble [math]X[/math] appartiendra à [math]P(E)[/math] si et seulement si tout élément [math]x[/math] de [math]X[/math] est aussi dans [math]E[/math].

Il convient de noter qu’alors [math]E[/math] lui même et l’ensemble vide [math]\emptyset[/math] sont deux éléments de [math]P(E)[/math].

On peut alors commencer. S’il existe une bijection entre deux ensembles, on dira que ces ensembles ont le même cardinal, ou plus précisément, parmi tous les ensembles en bijection avec un ensemble E, on dira que l’on peut en choisir un qui sera le cardinal de tous ces ensembles : c’est [math]l'\textbf{\textit{Axiome des cardinaux.}}.[/math]

Penchons nous alors sur l’ensemble [math]P(\emptyset)[/math] des parties de l’ensemble vide : il ne contient que l’ensemble vide, car si un ensemble [math]X[/math] est dans [math]P(\emptyset)[/math] , il doit être tel que tout élément [math]x[/math] lui appartenant doit être dans [math]\emptyset[/math] , qui ne contient rien, donc il n’y a rien dans ce [math]X[/math], c’est que [math]X = \emptyset[/math], et donc [math]P(\emptyset)=\{\emptyset\}[/math].

On définit alors 1, que vous connaissez depuis longtemps, depuis que vous avez conscience d’être, comme le cardinal de l’ensemble des parties de l’ensemble vide. On a donc : [math]1 = \mbox{cardinal}( P(\emptyset) ).[/math]

On croit rêver tellement c’est beau ! Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ! Mais attendez la suite pour comprendre que toute cette abstraction n’est pas si ridicule que cela.

Après 1 il faut 2. Bien sûr l’humanité n’a pas attendu la théorie des ensembles pour avoir la notion de deux, n’importe quel couple vous le dira, et on n’a même pas besoin des savoir que 1 et 1 cela fait 2 pour appréhender, (au sens littéral du terme) cette notion de deux.

Pour nous, il va falloir définir la somme de deux cardinaux pour obtenir 2. En revenant aux balbutiements de l’humanité en prise avec les nombres, j’aime imaginer que l’addition s’est introduite lorsque deux frères ayant chacun un troupeau de chèvres ont voulu savoir combien il y en avait en tout. Ils ont donc réuni les deux troupeaux pour compter les chèvres.

Réunis, tiens tiens, il y a donc de la réunion dans l’air, et pour nous, avec nos cardinaux qui sont des ensembles, ne l’oublions pas, il nous faut d’abord parler de la [math]\textbf{réunion de deux ensembles.}[/math]

Soient donc deux ensembles [math]A[/math] et [math]B[/math], on appelle réunion de [math]A[/math] et de [math]B[/math] l’ensemble formé de tous les éléments qui sont dans A et de tous ceux qui sont dans B. On notera [math]A \cup B[/math] cet ensemble.

Et pendant que j’y suis, définissons [math]\textbf{l'intersection de deux ensembles}[/math] [math]A[/math] et [math]B[/math], ce sera l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans [math]A[/math] et dans [math]B[/math], et il sera noté [math]A\cap B.[/math]